kümelerle ilgili sorular ve çözümleri

KÜMELERLE İLGİLİ SORU VE ÇÖZÜMLER


               SORU:   A- ( B U C ) =  (A-B ) ∩ ( A-C ) eşitliğinin doğruluğunu gösterelim.  
ÇÖZÜM:  A-(B U C) = A∩ (B U C) '
                = A ∩( B ∩ C' )                 (A-B = A ∩ B' olduğundan)
                = (A ∩ A) ∩ (B' ∩ C')                                ( De morgan kuralı )
                = (A ∩ B') ∩ (A ∩ C')                                ( Tek kuvvet özeliği )
                = (A-B) ∩ (A-C) bulunur.                  (kesişim işlemi birleşme özeliği)

               SORU:  ( A-B )' kümesinin  A' U B kümesine eşit olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM:     ( A - B )' = ( A ∩ B' )'
                     = A' U ( B' )'                                            (   ( A  - B ) = A ∩ B'  idi )
                     = A' U B   Olur.                                       (  De morgan kuralı )
                     = ( A - B )' = A' U B    Olur.

                SORU: A   ve  B   iki kümedir.   s( A ) = 2 . s( B ) ,  s( A - B ) = 10 ve    A ∩ B    kümesinin Alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,B kümesinin eleman sayısını bulalım .

ÇÖZÜM :   A ∩ B  kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,
                   2n = 64 = 26 Þ  n = 6 bulunur.                      = 10 + 6 = 16 olur.
                   s( A ∩ B ) = 6 olur.                                        s( A ) = 2 . s ( B )
                   s( A ) = s( A – B ) + s ( A ∩ B )                  16 = 2 . s( B ) Þ s( B ) = 8 bulunur.

                SORU: s( A ) = 10 , s( B ) = 9 , s ( A U B ) = 15 ise s ( A - B )’yi bulalım    

ÇÖZÜM : s( A ∩ B ) = x  olsun                                              A                              B
                 s( A U B ) = s( A ) + s( B ) -s( A ∩ B )                   
                 15 = 10 + 9 – x
                 x = 4 olur.
                s( A – B ) = s( A ) – s( A ∩ B )
                = 10 – 4 = 6 olur.


                                                                    
             SORU:  Bir turist gurubu Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşmuştur. Grubun % 60’ı almanca, % 80’ni ingilizce biliyor.Grupta her iki dili konuşan 8 kişi vardır. Bu turist grubunda kaç kişi vardır?
 ÇÖZÜM:       Grubu 100 kişi kabul edelim
                        s( A U  İ )  = s( A ) + s( İ )  -  s( A ∩ İ )         40             8   kişi karşılık gelirse
                        100 = 60 + 80 - s( A ∩ İ )                             100             X   kişi karşılık gelir.
                         Þ s( A ∩ İ ) = 40                                           x  =   100 ٠ 8     = 20
                                                                                                               40       
            SORU: İngizce veya Almanca dillerinden en az birinin bilindiği 34 kişilik bir turist grubunda sadece İngilizce bilenlerin sayısı, her iki dili bilenlerin  4 katından 1 fazladır. Bu grupta İngilizce bilen en fazla  kaç kişi vardır?                                                          
 
 ÇÖZÜM:   A                                               X + Y + Z = 34                
                                                                     X =  4Y + 1
                                                                     X + Y + Z  = 4Y + 1 + Y + Z = 5Y + Z + 1 = 34
                                                                     5Y=33-Z     Z en küçük olduğunda ingilizce
                                                                      bilenler en fazla olur.O halde Z=3 olmalıdır.
Z = 3 Þ 5Y = 33 - 2 = 33 - 3 = 30  Þ Y = 0
En fazla İngilizce bilenlerin sayısı  :  X + Y = 4Y + 1 + Y = 5Y + 1 = 5٠6 + 1 = 31’dir.
            SORU : 40 kişik bir grupta, 8 kişi futbol ve basketbol oynamaktadır.30 kişi bu oyunlardan en az birini oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısından 6 fazladır. Bu grupta futbol oynamayan kaç kişi vardır.
ÇÖZÜM :                              
                                              Grup  x + y + z + t = 40 kişi
                                              Futbol ve Basketbol oynayan  y = 8  kişi
                                              Futbol ve Baketboldan en az birini oynayanlar x + y + z = 30kişi
                                              Futbol  oynayanlar (x + y ) basketbol oynayanlardan                                                                                                                        
                                                   ( y + 2 ) den  6 fazladır.

                X + Y = Y + Z + 6 Þ X - Z = 6                            X + Y + Z + t = 40 Þ t = 10
                X + Y + Z = X + 8 + Z = 30 Þ X + Z = 22          futbol oynamayan
 X – Z = 6          Þ Z = 8                        Z + t = 8 + 10 =18   kişidir.                
X + Z = 22 

                                                 

            SORU : P( X , Y ) : 2x - 3Y < 5  açık önermesinin P( - 2 , 1 ) için doğruluk değerlerini  bulalım.
ÇÖZÜM:   2x - 3Y < 5   açık önermesinde ,  x  = - 2  ve Y = 1 yazalım.
                  2 ( - 2 ) – 3 . 1 < 5 Þ  - 4 – 3 < 5 Þ  - 7 < 5 doğru olduğundan
                  P(  X , Y )   açık önermesinin  doğruluk değerleri 1 dir.

             SORU :   ( A I B' ) U ( A I B ) ifadesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B' ) U ( A I B )  = A I ( B' U B )
                 = A I E
                 = A' olur.

            SORU: A - ( B I C ) = ( A – B ) U ( A – C ) olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:  A - ( B I C ) = A I ( B I C )'
                  = A I ( B' U C' )
                  = ( A I B' ) U ( A I C' )
                  =(A – B) U (A – C) olur.
             SORU:  ( A U B ) - ( A – B ) kümesini  en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A U B ) - ( A - B ) = ( A U B ) I ( A I B' )' ( C - D ) = (C I D' )
                  =  ( A U B ) I ( A' U B )              ( De morgan )
                  = ( A I A' )  U B                         ( A I A' = Æ )
           = B                                       ( B U Æ = B )
             SORU:  ( A I B' ) U ( A U B' ) = B - A olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:  ( A I B' ) C ( A U B' ) = A U B' olur.
                   Buna göre, C' = ( A U B )' = A I ( B')'
                    = A I B' =  B I A' =  B - A olur.
               SORU: ( A I B ) U ( A / B ) kümesini en kısa biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B ) U ( A I B' ) =  ( A I B ) U ( A I B' )               
                  =  ( A I ( B U B' ) = A bulunur.
            SORU:Bir turist grubunda  Almanca, İngilizce, ve Fransızca dillerinden en az  biri bilinmektedir. Almanca bilen 18, İngilizce bilen 20 , Fransızca bilen 15, Almanca ve Fransızca bilen 6,Almanca ve İngilizce bilen 3, Almanca , Fransızca,İngilizce dillerinin
Her üçünüde  bilen 2  kişidir. Turist grubu 41 kişi ise İngilizce ve Fransızca bilen kaç kişidir.

ÇÖZÜM:                                             s( A U İ U F)  = 41 ,  s( A ) = 18 , s( İ ) = 20 ,  s( F ) = 15
           A= { Almanca bilenler }      s( A I F ) = 6 ,  s( A I 1 ) = 3 , s( A I F I 1 ) = 2 ise
           F = { Fransızca bilenler }     s( 1 I F ) = ?
            İ = { İngilizce bilenler  }  olmak üzere
     s( A U I U F ) = s( A ) + s( I ) + s( F ) – s( A I 1 ) – s ( A I F ) – s(1 I F ) + s( A I 1 I F )
     41 = 18 + 20 +15 + - 3 – 6 - s( I I F ) + 2
    s( 1 I F ) = 5 ’ tir

                        SORU :  E = { a , b , c , d , e , f } evrensel küme    A = { a , c , e }  ise A'  kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :  A' = { b , d , f }

             SORU : E ={ X : - 2 < X < 5 ,  X ∈ R }   evrensel küme;
A = { X : │ X – 1 │ < 3 , X ∈ R } ise A kümesinin tümleyeni kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM :     │X-1│< 3 Þ - 3 < X – 1 < 3
                       - 2 < X < 4
                       -2                                         5            E                     
                                                                                                 A’ = [ 4 , 5 ]  U { - 2 }
                      -2                            4                           A



           SORU :  A = { a , b , c , d , e } B = { a , c , k , p }   kümeleri için A B  ve B A  kümelerini bulunuz
ÇÖZÜM :   A B ={ b , d , e }
                    B A = { k , p }



           SORU :  A B kümesinin  8  tane  alt  kümesi , B A  kümesinin15  tane öz alt kümesi vardır. s( A U B ) = 12 ise   A I B  kümesinin  2  elemanlı  kaç tane alt kümesi vardır?
ÇÖZÜM  :      A                             B
                         X           Y       Z                  s( A B ) = x , s( A I B ) =Y , s( B A) = Z olsun.
                                                                     A B kümesinin  8 tane alt kümesi olduğundan
                                                                     2x = 8 = 23 Þ x = 3
B A kümesinin  15 tane öz alt kümesi olduğundan;
22 – 1 = 15 Þ 22 =16 = 24 Þ Z = 4
s( A U B ) = X + Y + Z = 12
3 + Y + 4 =12 Þ Y = 5
A I B kümesinin  2 elemanlı  alt  kümelerinin sayısı,
( 25 ) =  5.4  = 10 ‘dur
              2
            SORU :  A B'   kümesinin 7 tane özalt kümesi, A' I B   kümesinin en çok bir elemanlı 6 alt kümesi ve s( A U B ) = 14 ise A I B'  kümesi kaç elemanlıdır?
ÇÖZÜM :                                              s( A B' ) = s( A I B ) = Y , 2y – 1 = 7 Þ   y = 3
         A                          B                      s( A' I B ) = s( A B ) = Z ,
              X      Y         Z                                Z      +     2      = 6 Þ 2 = 5
                                                                     0              1
                                                              s( A U B ) = x + 3 + 5 = 14 Þ x = 6
                                                              s( A I B’ ) = s( A B ) = 6 ‘dır
            SORU : E evrensel kümesinde  A ve B kümeleri alınıyor. 
s( A ) + s( B' ) = 19   
s( A' ) + s( B ) = 21 ise   s( E )    kaçtır.
ÇÖZÜM :              s( A ) + s( B' ) =19                              2  s( E ) = 40 Þ s( E ) = 20 dir.
                                + s( A' ) + s( B ) = 21  
                               s( A ) + s( A' ) + s( B' ) + s( B ) = 40 

                                  =s( E )          +       s( E )         =  40

            SORU :  P( x ) :  3 x + 1 < 13  açık önermesinin  doğal sayılarda doğruluk kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM :        3 x + 1 < 13 Þ 3 x < 12 Þ x <  4 tür.
                     P( x ) önermesi     x  = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3  için doğrudur.
 Doğruluk kümesi   Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘tür

            SORU :  E = { - 1 , 1 , 2 , 3 } kümesi veriliyor   X ∈ E  veya  Y ∈E olmak üzere;
P( x , y ) : x2 + y < 5 önermesinin doğruluk kümesini yazınız.
ÇÖZÜM :  P( - 1 , - 1 ) : ( - 1 )2 + ( - 1 ) = 0 < 5 doğrudur. Benzer biçimde
P( - 1 , 2 ) , P( - 1 , 3 ) ,  P( 1 , - 1 ) , P( 1 , 1 ) , P( 1 , 2 ) , P( 1 , 3 ) önermesinin doğru olduğunu görürüz.
Ç = { ( x , y ) : ( - 1 , - 1 ),( - 1 , 1 ),( - 1 , 2 ),( - 1 , 3 ),( 1 , 1 ),( 1 , - 1 ),( 1 , 2 ),( 1 , 3 )   tür
 
            SORU :  " ( ∃x ∈ R , ( 3x - 1 ) < 2 ) Λ ( ∀x ∈ R , ( 2x + 1 ) ≠ 3 ) "
Birleşik önermesinin olumsuzunu yazınız.
ÇÖZÜM :  [ ∃x ∈ R, ( 3x – 1 ) < 2 ) ]  Λ  [ ∀x ∈ R , ( 2x +1 )≠3 ]' ≡
                  [∃x ∈ R , ( 3x – 1 ) < 2 ) ]′  V  [ ∀x ∈R , ( 2x + 1 ) ≠3 ]' ≡
                  [ ∀x ∈ R , ( 3x - 1 ) > 2 ) V [ ∃x ∈ R , ( 2x + 1 ) = 3 ) ]  tür.
             SORU  :  " ∀x ∈ R , x2 > - 1 dir."  Önermesinin olumsuzunu yazınız.
ÇÖZÜM :  [ ∀x ∈R , x2 > - 1 dir.]' ≡  [ ∃x ∈ R , x2 < - 1 dir.]

            SORU : 21  kişilik bir sınıfta , Matamatik dersini anlayanların sayısı , İngilizce anlayanların sayısının  3  katıdır. Bu sınıfta  4 öğrenci ,Matamatik ve İngilizce derslerinin  ikisinide almamakta  ve 3 öğrencide her iki dersi aldığına göre bu sınıfta yalnızca matamatik  dersini alan kaç kişi vardır.
ÇÖZÜM :                                                                     sınıf  A ise
                                                           A                s( A ) = X + 3 +Y + 4 = 21 Þ X + Y = 14
          M                                       İ                        s( M ) = 3. s( İ ) Þ X + 3 = 3 ( 3 )Y )
                     X       3         Y                                    X – 3Y = 6        Þ   X – 3 Y = 6                               
          4                                                                     X + Y = 14               X = 12 dir                               
           
            SORU:  { (x . y) : x . y = 12 , x < y ,  x ∈ z ,  y ∈ z } kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

ÇÖZÜM :        - 12 ٠ ( - 1 ) = 12 ;   - 6 ( - 2 ) = 12 ; - 4 . ( - 3 ) = 12
                          1 . 12 = 12 , 2 . 6 = 12 ; 3 . 4 = 12  olduğundan;
                          A = { ( - 12 , - 1 ) ( - 6 , - 2 ) , - 4 , - 3 ) , ( 1 , 12 ) , ( 2 , 6 ),( 3 , 4 ) }

            SORU :  A = { x :│x-2│ <  x ∈ z } kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazınız.
Venn şeması ile gösteriniz.                                                                                 
ÇÖZÜM : │x - 2│ <  1                                                  A         ٠1         
                 - 1 <  x - 2 < 1                                                               ٠2       
                    1 <  x  <  3                                                                     ٠3
                  liste yöntemi ile ;  A = { 1 , 2 , 3 } tür.

            SORU:   A = { X : ( X + 3 )0 ≠ 1,  X ∈ R } kümesinin kaç elemanı vardır.
ÇÖZÜM : a ≠ 0 olmak üzere a0  = 1 dir . Buna göre ;
                                                       ( X + 3 ) = 0 için  ( X + 3 )0 ≠ 1 dir.
                                                        X + 3 = 0 Þ X = - 3
                                                       A = { - 3 } ve  s( A ) =1 dir.
            SORU :      A=[ a , b , c , d }  kümesinin;
                                    a)   Kaç tane alt kümesi vardır?
                                    b)   Kaç tane öz alt kümesi vardır?
ÇÖZÜM :  a)    24 = 16 tane alt kümesi vardır
                  b)    24 –1 = 15 tane öz alt kümesi vardır.
             SORU : Bir A  kümesinin alt küme sayısı ile  öz alt küm sayısının toplamı  15 ise , A kümesinin kaç elemanı vardır ?

ÇÖZÜM :    s( A ) = n  
                     2n + 2n  - 1 = 15 Þ 2 . 2n  = 16
                     Þ 2n  = 8 = 23  Þ n = 3’ tür.
           SORU :Matamatik,Fizik ve Kimya derslerinin en az birinden geçen öğrencilerin oluşturduğu 39 kişilik bir sınıfta 2 öğrenci  üç derstende geçmiştir . Matamatik’ den geçen 20 , kimyadan geçen 16,Fizikten geçen 15 olduğuna göre,yalnız iki dersten geçen  öğrencilerin sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM   :                                         X = 20 – a – b -  2  = 18 – a -  b
           M                                             Y = 15 – a – c – 2  = 13 – a – c
                 X        a               F             Z = 16 – b – c – 2   = 14 – b – c
                         2         Y                     Sınıf mevcudu
                  b             c                         39 = X + Y + Z + a + b + c + 2
                         Z            K                 Þ 18 – a – b  + 13 – a  –c +14 –b – c + a + b + c + 2
                                                            Þ a + b + c = 18
            SORU : 36 kişilik bir grupta ,15 kişi ingilizce 16 kişi Almanca , 17 kişi Fransızca bilmektedir. Yalnız bu dillerden ikisini bilenlerin yoplam sayısı bu üç dilden hiçbirini bilmeyen  ve bu üç dili bilenlerin sayısı aynıdır . Grupta bu üç dili bilen kaç kişi vardır?
ÇÖZÜM :    İ                        A                      X = m + n + k
                                    I                                s( İ U A U F ) = s( İ ) + s( A ) + s( F ) – s( İ ∩ A )
                          M       X                              -s( İ ∩ F ) – s( A ∩ F ) + s( İ ∩ A ∩ F )
                                         k                            Þ 36 – x = 15 + 16 + 17 –  ( n + x ) – ( m + x )
                                            F                        - ( k + x ) + x
                   X                                                 36 – x  = 48 – ( m + n + k ) – 3x + x
                 36 – x = 48 – x – 3x + x Þ 2x  = 12                 
                 Þ x = 6
SORU : bir sınıfta Matamatik dersinden başarılı olanlar %70, bu dersten 3’ün üstünden not alanlar , başarılı olanların %40’dır. Aynı sınıfta Türkçe dersinden başarılı olanlar %80’dir. Bu sınıfta Türkçe dersinden başarılı olanlardan Matamatik dersinde notu 3’ün üstünde olanlar en az yüzde kaçtır ?
ÇÖZÜM :                                                             Sınıf 100  kişi olsun .
           M                           T                                 s( M U T ) = s( M ) + s( T ) – s( M ∩ T )
                                                                            100 = 70 + 80 – s( M ∩ T ) Þ s( M ∩ T ) = 50
                X        Y        Z                                     x = 70 – y = 70 – 50 = 20
                                                                            70       40      =28        28 – 20 = 8’dir
                                                                                     100
            SORU : futbol,basketbol,voleybol oynayanlardan en az birini oynayanların bulunduğu toplulukta futbol oynayan basket oynamıyor ,basketbol oynayan voleybol oynamıyor. Futbol oynamayan 19 kişi ,voleybol oynamayan 9 kişi ise Basketbol oynayan kaç kişi vardır?
ÇÖZÜM  :                                                                 Futbol oynamayan z + t  = 13
    F                                 V                           B          Yalnız bir oyun oynayanlar   x + z + t = 17
        X          Y        Z                     t                          x + z + t  = x + 3 = 17 Þ x = 4
                                                                                  x + t = 9 Þ 4 + t = 9 Þ  t = 5
                                                                                  Basket oynayan  = 5  kişidir 


            SORU :  bir yolcu otobüsündeki 54 kişiden 38 tanesi gözlüksüz ve 23 tanesi şapkalıdır. Sapkasız 6 kişi  gözlüklü olduğuna göre , hem şapka hem gözlüğünikisine birden sahip olmayan kaç kişi vardır ?
ÇÖZÜM :                                           Otobüsteki yolcu sayısı
   Ş                                   G                 X + y + z + t = 54
      X             Y        Z                        Gözlüksüz        x + t = 38
                                                            Şapkalı             x + y = 20
                                     t                      Şapkasız 6 kişi gözlüklü olduğundan  z = 6 dır.
Gözlüklü    54 – ( x + t ) = 54 – 38 = 16
Y + z = 16  Þ y = 16 - z  = 16 – 6 = 10 Þ ikisine birden sahip olmayan  = 54 – 10 = 44 tür.


            SORU : A  ve B  kümeleri için s( B A ) = 5 , s( A ) = 2  s( B )  ve s( A U B ) = 23 ise    A I B  kümesinin en çok bir elemanlı  kaç kümesi vardır ?
ÇÖZÜM :                                                   s( A B ) = x , s( A I B ) = Y , s( B A ) = Z olsun.
          A                              B                      Z = 5 ve s( A U B ) = X + Y + 5 = 23
             X         Y         Z                             Þ X + Y = 18
                                                                   s( A ) = 2 . s( B ) Þ X + Y = 2 ( Y + 5 )
                                                                   18 = 2 .(Y +5 ) Þ Y =  4
 A I B en çok bir elemanlı alt kümelerinin sayısı ;                       
  4             4
  0      +     1       = 1 + 4 = 5 ’ tir.                  
      
            SORU: A = { ( X , Y ) : 3x + 2y  = 15 , X , Y ∈ N } kümesinin öz alt küme syısı kaçtır ?
ÇÖZÜM :  3x + 2Y = 15 Þ x = 5 – 2Y
                                                           3
                 Y = O Þ x = 5                               Buna göre A kümesi
                 Y = 3 Þ x = 3                                 A ={ ( 5 , 0 ) , ( 3 , 3 ) , ( 1 , 6 ) }  dır.
                 Y = 6 Þ x = 1’dir.     s( A ) = 3 ve A’nın özalt küme sayısı
    23 – 1 = 7’dir.   
SORU: A= { x:    X2 - 6x + 9 > 2 , X ∈ Z }
             B={ x :  ½x – 1 ½ = 5 ,  X ∈ R } kümeleri  veriliyor.    A’ U B kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayıları kaçtır?
ÇÖZÜM  :                        X2 – 6 X + 9 =       ( X – 3 )2    =½X – 3 ½ > 2
                             A' kümesinin elemanları ½ X – 3 ½ <  2  koşulunu sağlayan  tam sayılardır.
                              - 2 < X – 3 < 2                                                        X = 6 V x  =  - 4
            1 <  X  <  5 Þ A' = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }                      A' U B = { - 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
            ½ x – 1 ½ = 5 Þ x – 1 = 5V x – 1 =  - 5                   s( A' U B ) = 7
 A’ U B kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin  sayısı     7      =  7 . 6  =  21 ’ dir.
                             2           2 . 1
         SORU: E evrensel küme  A ⊂ E , B ⊂ E , A ∩ B , ≠ Ø, A ⊄ B ve s( A ) = 5 ,  s( B ) = 7
İse A U B kümesinin eleman sayısının alabileceği en küçük değer a , en büyük değer
 b ise a + b   kaçtır?
ÇÖZÜM:  s( A I B ) en  az ise  s( A U B ) en çok , s( A I B ) en çok ise  s( A U B ) en az olur.
Buna göre ;          A                        B                                               A                      B                               
                    &nbs

Yorum Yaz
Arkadaşların Burada !
Arkadaşların Burada !